Distribuição de Frequência
Número total de dados ( n ) (n) ( n ) ( i ) (i) ( i ) ( k ) (k) ( k )
Determinar Número de Classes ( k ) (k) ( k ) n ≤ 50 → n n \leq 50 \rightarrow \sqrt n n ≤ 50 → n n > 50 → 1 + 3 , 322 ∗ log n n > 50 \rightarrow 1 + 3,322 * \log n n > 50 → 1 + 3 , 322 ∗ log n
Amplitude do Intervalo de Classe ( h i ) (h_i) ( h i ) arredondar p/ +
h i = L i − l i h_i = L_i-l_i h i = L i − l i
Amplitude Total ( A T ) (AT) ( A T ) delta entre maior e menor valor da amostra
A T = L ( m a x ) − l ( m i n ) AT = L(max) - l(min) A T = L ( ma x ) − l ( min )
Amplitude Amostral ( A A ) (AA) ( AA ) delta entre maior e menor valor das classes
A T = x ( m a x ) − x ( m i n ) AT = x(max) - x(min) A T = x ( ma x ) − x ( min )
Ponto Médio ( x i ) (x_i) ( x i ) x i = l i + L i 2 \Large x_i = \frac{l_i+L_i}{2} x i = 2 l i + L i
Tipos de Frequência
Frequência Simples/Absoluta ( f i ) (f_i) ( f i ) ∑ i = 1 k f i = n \large \displaystyle\sum_{i=1} ^{k} f_i = n i = 1 ∑ k f i = n
k k k último elemento a ser somado
i i i primeiro elemento a ser somado
f i f_i f i nome dos termos a serem somados
Frequência Relativa ( f r i ) ( % ) (fr_i)(\%) ( f r i ) ( % ) f r i = f i n ( ⋅ 100 ) \large fr_i = \frac{fi}{n}(·100) f r i = n f i ( ⋅ 100 )
Frequência Acumulada ( F a c ) (Fac) ( F a c ) F a c k = f 1 + f 2 + f 3 + . . . + f k Fac_k = f_1 + f_2 + f_3 + ... + f_k F a c k = f 1 + f 2 + f 3 + ... + f k
Frequência Acumulada Relativa ( F r a c ) ( % ) (Frac)(\%) ( F r a c ) ( % ) F r a c i = F a c n \large Frac_i = \frac{Fac}{n} F r a c i = n F a c
Medidas de Posição
Média Aritmética
( x ˉ ) (\bar x) ( x ˉ ) x ˉ = ∑ x i n \Large \bar x = \frac{\sum x_i}{n} x ˉ = n ∑ x i
Desvio em relação a média ( d i ) (d_i) ( d i ) d i = x i − x ˉ \Large d_i = x_i - \bar x d i = x i − x ˉ
Dados Agrupados
a) Sem intervalo de classe
x ˉ = ∑ x i f i n \Large \bar x = \frac{\sum x_i f_i}{n} x ˉ = n ∑ x i f i
Exemplo:
x ˉ = 78 34 = 2 , 29 → 2 , 3 \bar x = \frac{78}{34} = 2,29 \rightarrow 2,3 x ˉ = 34 78 = 2 , 29 → 2 , 3
b) Com intervalo de classe
Ponto Médio
x i = l i + L i 2 \Large x_i = \frac{l_i + L_i}{2} x i = 2 l i + L i
Média
x ˉ = ∑ x i f i n \Large \bar x = \frac{\sum x_i f_i}{n} x ˉ = n ∑ x i f i
Exemplo:
x ˉ = 5.084 33 = 158 , 87 c m \bar x = \frac{5.084}{33} = 158,87 cm x ˉ = 33 5.084 = 158 , 87 c m
Dados Não Agrupados
7, 8, 9, 10, 10, 10 , 11, 12, 13, 15 → Amodal
2, 3, 4, 4, 4 , 5, 6, 7, 7, 7 , 8, 9 → Bimodal
Dados Agrupados
a) Sem intervalo de classe
Mo = elemento que apresenta maior frequência
Exemplo:
M o = 3 Mo=3 M o = 3
b) Com intervalo de classe
M o = l m o + ( d 1 d 1 + d 2 ) ⋅ h m o \Large Mo = l_{mo} + (\frac{d_1}{d_1+d_2})· h_{mo} M o = l m o + ( d 1 + d 2 d 1 ) ⋅ h m o
Classe modal (mo) = classe de maior frequência
l m o l{mo} l m o h m o h{mo} h m o d 1 = f m o − f a n t d_1 = f{mo} - f{ant} d 1 = f m o − f an t d 2 = f m o − f p o s d_2 = f{mo} - f{pos} d 2 = f m o − f p os
Exemplo:
d 1 = 11 − 9 = 2 d_1 = 11 - 9 = 2 d 1 = 11 − 9 = 2 d 2 = 11 − 8 = 3 d_2 = 11 - 8 = 3 d 2 = 11 − 8 = 3 M o = 158 + ( 2 2 + 3 ) ⋅ 4 Mo = 158 + (\frac{2}{2+3})· 4 M o = 158 + ( 2 + 3 2 ) ⋅ 4 M o = 158 + 0 , 4 ⋅ 4 Mo = 158 + 0,4 · 4 M o = 158 + 0 , 4 ⋅ 4 M o = 158 + 1 , 6 Mo = 158 + 1,6 M o = 158 + 1 , 6 M o = 159 , 6 c m Mo = 159,6cm M o = 159 , 6 c m
Medidas Separatrizes
Fórmula padrão para separatrizes:
l ∗ + [ n ∗ − F a c a n t f ∗ ] ⋅ h ∗ \Large l_\ast + [\frac{\frac{n}{\ast} - Fac_{ant}}{f_\ast}] · h_\ast l ∗ + [ f ∗ ∗ n − F a c an t ] ⋅ h ∗
l l l F a c a n t Fac_{ant} F a c an t f f f h h h
Dados Não Agrupados
a) Ímpar
n + 1 2 = \large \frac{n+1}{2} = 2 n + 1 =
b) Par
n 2 \large \frac{n}{2} 2 n n + 1 2 \large \frac{n+1}{2} 2 n + 1
média x ˉ \bar x x ˉ
Dados Agrupados
a) Sem Intervalo de Classe
P o s M d = F a c > n 2 \Large PosM_d = Fac > \frac{n}{2} P os M d = F a c > 2 n
elemento x i x_i x i
b) Com Intervalo de Classe
P o s M d = F a c > n 2 \Large PosM_d = Fac > \frac{n}{2} P os M d = F a c > 2 n
M d = l m d + [ n 2 − F a n t f m d ] ⋅ h m d \Large Md = l_{md} + [\frac{\frac{n}{2} - F_{ant}}{f_{md}}] · h_{md} M d = l m d + [ f m d 2 n − F an t ] ⋅ h m d
Exemplo:
P o s M d = 32 2 = 16 PosM_d = \frac{32}{2} = 16 P os M d = 2 32 = 16 F a c 3 = 24 → 24 > 16 Fac_3 = 24 \rightarrow 24 >16 F a c 3 = 24 → 24 > 16
M d = 158 + 16 − 13 11 ⋅ 4 Md = 158 + \frac{16-13}{11} · 4 M d = 158 + 11 16 − 13 ⋅ 4 M d = 158 + 0 , 2 7 ˉ ⋅ 4 Md = 158 + 0,2\bar7 · 4 M d = 158 + 0 , 2 7 ˉ ⋅ 4 M d = 158 + 1 , 08 = 159 , 08 c m Md = 158 + 1,08 = 159,08 cm M d = 158 + 1 , 08 = 159 , 08 c m
Q 2 = 50 % ( M d ) Q_2 = 50\% (Md) Q 2 = 50% ( M d )
Dados Não Agrupados
P o s Q k = k ⋅ n 4 \Large PosQ_k = \frac{k · n}{4} P os Q k = 4 k ⋅ n k = 1 , 2 , 3 k = 1, 2, 3 k = 1 , 2 , 3
Dados Agrupados
a) Sem Intervalo de Classe
P o s Q k = k ⋅ n 4 \Large PosQ_k = \frac{k · n}{4} P os Q k = 4 k ⋅ n
b) Com Intervalo de Classe
P o s Q k = F a c > k ⋅ n 4 \large PosQ_k = Fac > \frac{k · n}{4} P os Q k = F a c > 4 k ⋅ n
Q k = l q k + [ k ⋅ n 4 − F a c a n t f q k ] ⋅ h q k \Large Q_k = l_{qk} + [\frac{\frac{k · n}{4} - Fac_{ant}}{f_{qk}}] · h_{qk} Q k = l q k + [ f q k 4 k ⋅ n − F a c an t ] ⋅ h q k
Exemplo:
P o s Q 3 = F a c > 3 ⋅ 230 4 = 172 , 5 PosQ_3 = Fac > \frac{3 · 230}{4} = 172,5 P os Q 3 = F a c > 4 3 ⋅ 230 = 172 , 5
Q 3 = 20 + [ 172 , 5 − 159 25 ] ⋅ 5 Q_3 = 20 + [\frac{172,5 - 159}{25}] · 5 Q 3 = 20 + [ 25 172 , 5 − 159 ] ⋅ 5 Q 3 = 20 + 0 , 54 ⋅ 5 Q_3 = 20 + 0,54 · 5 Q 3 = 20 + 0 , 54 ⋅ 5 Q 3 = 20 + 2 , 7 Q_3 = 20 + 2,7 Q 3 = 20 + 2 , 7 Q 3 = 22 , 7 Q_3 = 22,7 Q 3 = 22 , 7
P o s P k = k ⋅ n 100 \Large PosP_k = \frac {k · n}{100} P os P k = 100 k ⋅ n
P k = l p k + [ k ⋅ n 100 − F a c a n t f p k ] ⋅ h p k \Large P_k = l_{pk} + [\frac{\frac{k · n}{100} - Fac_{ant}}{f_{pk}}] · h_{pk} P k = l p k + [ f p k 100 k ⋅ n − F a c an t ] ⋅ h p k
Medidas de Dispersão ou Variabilidade
Nível de diversificação entre valores e sua média; desvio médio
Dados Não Agrupados
s 2 = 1 n ⋅ [ Σ x i 2 − ( Σ x i ) 2 n ] \Large s² = \frac{1}{n} · [{\Sigma x_i²} - \frac{(\Sigma x_i)²}{n}] s 2 = n 1 ⋅ [ Σ x i 2 − n ( Σ x i ) 2 ]
Dados Agrupados
s 2 = 1 n ⋅ [ Σ x i 2 f i − ( Σ x i f i ) 2 n ] \Large s² = \frac{1}{n} · [{\Sigma x_i²f_i} - \frac{(\Sigma x_i f_i)²}{n}] s 2 = n 1 ⋅ [ Σ x i 2 f i − n ( Σ x i f i ) 2 ]
1 n − 1 \Large \frac{1}{n-1} n − 1 1
Exemplo:
s 2 = 1 30 ⋅ [ 165 − 6 3 2 30 ] s² = \frac{1}{30} · [165 - \frac{63²}{30}] s 2 = 30 1 ⋅ [ 165 − 30 6 3 2 ] s 2 = 0 , 0 3 ˉ ⋅ [ 165 − 132 , 3 ] s² = 0,0\bar3 · [165 - 132,3] s 2 = 0 , 0 3 ˉ ⋅ [ 165 − 132 , 3 ] s 2 = 0 , 0 3 ˉ ⋅ 32 , 7 s² = 0,0\bar3 · 32,7 s 2 = 0 , 0 3 ˉ ⋅ 32 , 7 s 2 = 1 , 09 s² = 1,09 s 2 = 1 , 09
Útil para compreender a dispersão dentro de um único conjunto de dados
S = s 2 \Large S = \sqrt s² S = s 2
Propriedades em Curvas Normais
Coeficiente de Variação
( C V ) (CV) ( C V ) Grau de concentração em torno da média; proporção do desvio padrão em relação à média
Útil para comparar variabilidade entre diferentes conjuntos de dados ou entre diferentes momentos
C V = S x ˉ \Large CV = \frac{S}{\bar x} C V = x ˉ S ( ⋅ 100 ) (· 100) ( ⋅ 100 )
Medidas de Assimetria
Coeficiente de Assimetria de Pearson
A medida que a distribuição deixa de ser simétrica, a média, moda e mediana vão se afastando, aumentando cada vez mais a diferença entre elas
A s = 3 ⋅ ( x ˉ − M d ) S \Large A_s = \frac{3 · (\bar x - Md)}{S} A s = S 3 ⋅ ( x ˉ − M d )
Positivo - Assimetria positiva
Negativo - Assimetria negativa
Medidas de Curtose
Grau de achatamento de uma distribuição em relação a uma distribuição normal
Leptocúrtica - dados muito concentrados
Mesocúrtica - curva normal
Plasticúrtica - dados muito espalhados
Coeficiente Percentílico de Curtose
Grau de curtose; propensão a produzir extremos
C = Q 3 − Q 1 2 ⋅ ( P 90 − P 10 ) \Large C = \frac{Q_3 - Q_1}{2 · (P_{90} - P_{10})} C = 2 ⋅ ( P 90 − P 10 ) Q 3 − Q 1
