Estatística

Distribuição de Frequência

Número total de dados $(n)$ Classe $(i)$ Número total de classes $(k)$ Limites de Classe

• $(l_i)$ inferior

• $(L_i)$ superior

Determinar Número de Classes $(k)$ $n \leq 50 \rightarrow \sqrt n$ $n > 50 \rightarrow 1 + 3,322 * \log n$

Amplitude do Intervalo de Classe $(h_i)$ arredondar p/ + $h_i = L_i-l_i$

Amplitude Total$(AT)$ delta entre maior e menor valor da amostra $AT = L(max) - l(min)$

Amplitude Amostral $(AA)$ delta entre maior e menor valor das classes $AT = x(max) - x(min)$

Ponto Médio $(x_i)$ $\Large x_i = \frac{l_i+L_i}{2}$

Tipos de Frequência

Frequência Simples/Absoluta $(f_i)$ $\large \displaystyle\sum_{i=1} ^{k} f_i = n$

$k$ - último elemento a ser somado $i$ - primeiro elemento a ser somado $f_i$ - nome dos termos a serem somados

Frequência Relativa $(fr_i)(\%)$ $\large fr_i = \frac{fi}{n}(·100)$

Frequência Acumulada $(Fac)$ $Fac_k = f_1 + f_2 + f_3 + ... + f_k$

Frequência Acumulada Relativa $(Frac)(\%)$ $\large Frac_i = \frac{Fac}{n}$

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Medidas de Posição

Média Aritmética $(\bar x)$

$\Large \bar x = \frac{\sum x_i}{n}$

• Desvio em relação a média $(d_i)$ $\Large d_i = x_i - \bar x$

Dados Agrupados

a) Sem intervalo de classe

$\Large \bar x = \frac{\sum x_i f_i}{n}$

Exemplo:

$x_i$	$f_i$	$x_i f_i$
0	2	0
1	6	6
2	10	20
3	12	36
4	4	16
	$\Sigma = 34$	$\Sigma = 78$

$\bar x = \frac{78}{34} = 2,29 \rightarrow 2,3$

b) Com intervalo de classe

• Ponto Médio $\Large x_i = \frac{l_i + L_i}{2}$
• Média $\Large \bar x = \frac{\sum x_i f_i}{n}$

Exemplo:

$i$	estaturas (cm)	$f_i$	$x_i$	$x_i f_i$
1	150 $\vdash$ 154	4	152	608
2	154 $\vdash$ 158	9	156	1.404
3	158 $\vdash$ 162	11	160	1.760
4	162 $\vdash$ 166	8	168	1.312
		$\Sigma = 32$		$\Sigma = 5.084$

$\bar x = \frac{5.084}{33} = 158,87 cm$

Moda $(Mo)$

Dados Não Agrupados

7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15 → Amodal 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 → Bimodal

Dados Agrupados

a) Sem intervalo de classe Mo = elemento que apresenta maior frequência

Exemplo:

$x_i$	$f_i$
0	2
1	6
2	10
3	12
4	4
	$\Sigma = 34$

$Mo=3$

b) Com intervalo de classe

$\Large Mo = l_{mo} + (\frac{d_1}{d_1+d_2})· h_{mo}$

Classe modal (mo) = classe de maior frequência

$l{mo}$ = limite inferior classe modal $h{mo}$ = amplitude da classe mo $d_1 = f{mo} - f{ant}$ $d_2 = f{mo} - f{pos}$

Exemplo:

$i$	estaturas (cm)	$f_i$
1	150 $\vdash$ 154	4
2	154 $\vdash$ 158	9
3	158 $\vdash$ 162	11
4	162 $\vdash$ 166	8
		$\Sigma = 32$

$d_1 = 11 - 9 = 2$ $d_2 = 11 - 8 = 3$ $Mo = 158 + (\frac{2}{2+3})· 4$ $Mo = 158 + 0,4 · 4$ $Mo = 158 + 1,6$ $Mo = 159,6cm$

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Medidas Separatrizes

• Mediana

• Quartil

• Decil

• Percentil

Fórmula padrão para separatrizes: $\Large l_\ast + [\frac{\frac{n}{\ast} - Fac_{ant}}{f_\ast}] · h_\ast$

$l$ = limite inferior da classe separatriz $Fac_{ant}$ = Fac da classe anterior a classe separatriz $f$ = frequência da classe separatriz $h$ = amplitude da classe separatriz

Mediana $(Md)$

Dados Não Agrupados

a) Ímpar $\large \frac{n+1}{2} =$ posição do termo

b) Par

1. $\large \frac{n}{2}$ e $\large \frac{n+1}{2}$
2. média $\bar x$ dos termos

Dados Agrupados

a) Sem Intervalo de Classe

• $\Large PosM_d = Fac > \frac{n}{2}$
• elemento $x_i$ de maior Fac

b) Com Intervalo de Classe

$\Large PosM_d = Fac > \frac{n}{2}$

$\Large Md = l_{md} + [\frac{\frac{n}{2} - F_{ant}}{f_{md}}] · h_{md}$

Exemplo:

$i$	estaturas (cm)	$f_i$	$Fac$
1	150 $\vdash$ 154	4	4
2	154 $\vdash$ 158	9	13
3	158 $\vdash$ 162	11	24
4	162 $\vdash$ 166	8	32
		$\Sigma = 32$

$PosM_d = \frac{32}{2} = 16$ $Fac_3 = 24 \rightarrow 24 >16$

$Md = 158 + \frac{16-13}{11} · 4$ $Md = 158 + 0,2\bar7 · 4$ $Md = 158 + 1,08 = 159,08 cm$

Quartil $(Q_k)$

• $Q_1 = 25\%$
• $Q_2 = 50\% (Md)$
• $Q_3 = 75 \%$

Dados Não Agrupados

$\Large PosQ_k = \frac{k · n}{4}$ $k = 1, 2, 3$

Dados Agrupados

a) Sem Intervalo de Classe $\Large PosQ_k = \frac{k · n}{4}$

b) Com Intervalo de Classe $\large PosQ_k = Fac > \frac{k · n}{4}$

$\Large Q_k = l_{qk} + [\frac{\frac{k · n}{4} - Fac_{ant}}{f_{qk}}] · h_{qk}$

Exemplo:

peso (kg)	$f_i$	$Fac$
0 $\vdash$ 5	52	52
5 $\vdash$ 10	36	88
10 $\vdash$ 15	30	118
15 $\vdash$ 20	41	159
20 $\vdash$ 25	25	184
25 $\vdash$ 30	28	212
30 $\vdash$ 35	18	230
	$\Sigma$ = 230

$PosQ_3 = Fac > \frac{3 · 230}{4} = 172,5$

$Q_3 = 20 + [\frac{172,5 - 159}{25}] · 5$ $Q_3 = 20 + 0,54 · 5$ $Q_3 = 20 + 2,7$ $Q_3 = 22,7$

Percentil $(P_k)$

$\Large PosP_k = \frac {k · n}{100}$

$\Large P_k = l_{pk} + [\frac{\frac{k · n}{100} - Fac_{ant}}{f_{pk}}] · h_{pk}$

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Medidas de Dispersão ou Variabilidade

Variância $(s²)$

• Nível de diversificação entre valores e sua média; desvio médio

Dados Não Agrupados

$\Large s² = \frac{1}{n} · [{\Sigma x_i²} - \frac{(\Sigma x_i)²}{n}]$

Dados Agrupados

$\Large s² = \frac{1}{n} · [{\Sigma x_i²f_i} - \frac{(\Sigma x_i f_i)²}{n}]$

$\Large \frac{1}{n-1}$ para amostras

Exemplo:

$x_i$	$f_i$	$x_i f_i$	$x_i f_i · xì$
0	2	0	0
1	6	6	6
2	12	24	48
3	7	21	63
4	3	16	48
	$\Sigma = 30$	$\Sigma = 63$	$\Sigma = 165$

$s² = \frac{1}{30} · [165 - \frac{63²}{30}]$ $s² = 0,0\bar3 · [165 - 132,3]$ $s² = 0,0\bar3 · 32,7$ $s² = 1,09$

Desvio Padrão $(S)$

• Útil para compreender a dispersão dentro de um único conjunto de dados

$\Large S = \sqrt s²$

Propriedades em Curvas Normais

Desvio Padrão em Curvas Normais

Coeficiente de Variação $(CV)$

• Grau de concentração em torno da média; proporção do desvio padrão em relação à média

• Útil para comparar variabilidade entre diferentes conjuntos de dados ou entre diferentes momentos

$\Large CV = \frac{S}{\bar x}$ $(· 100)$

CV (%)	Dispersão
< 15	baixa
$\geq$ 15 e < 30	média
$\geq$ 30	alta

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Medidas de Assimetria

Coeficiente de Assimetria de Pearson

• A medida que a distribuição deixa de ser simétrica, a média, moda e mediana vão se afastando, aumentando cada vez mais a diferença entre elas

$\Large A_s = \frac{3 · (\bar x - Md)}{S}$

• Nulo - Curva simétrica

• Positivo - Assimetria positiva

• Negativo - Assimetria negativa

As	Assimetria
< 0,15	fraca
$\geq$ 0,15 e $\leq$ 1	moderada
> 1	forte

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Medidas de Curtose

• Grau de achatamento de uma distribuição em relação a uma distribuição normal

Leptocúrtica - dados muito concentrados Mesocúrtica - curva normal Plasticúrtica - dados muito espalhados

Coeficiente Percentílico de Curtose

• Grau de curtose; propensão a produzir extremos

$\Large C = \frac{Q_3 - Q_1}{2 · (P_{90} - P_{10})}$

C	Distribuição
= 0, 263	Mesocúrtica
< 0, 263	Leptocúrtica
> 0, 263	Plasticúrtica